Диференціальна топологія - це топологія, яка вивчає диференціальні різноманітності та диференційовані карти. З розвитком алгебраїчної топології та диференціальної геометрії вона знову з’явилася в 1930-х роках. Х. Уітні дав загальне визначення диференціального різноманіття в 1935 р. І довів, що його завжди можна вбудувати у високовимірний евклідовий простір. Для вивчення векторного поля на диференціальному різноманітті він також запропонував концепцію волоконних пучків, так що багато геометричних задач пов'язані з гомологією (орієнтовний клас) та задачами гомотопії.
У 1953 р. Теорія колокації Рене Тома Г. Г. створила ситуацію, коли диференціальна топологія та алгебраїчна топологія просувалися пліч-о-пліч. Багато складних задач диференціальної топології були перетворені в алгебраїчні задачі топології та вирішені, що також стимулювало алгебраїчну топологію. Подальший розвиток. У 1956 році Мільно виявив, що крім звичайної диференціальної структури на семивимірній кулі існувала і незвична диференціальна структура. Згодом люди створили колектори, яким не можна призначити будь-яку диференційну структуру. Усі вони показують, що три категорії топологічних багатоманітностей, диференціальні різноманітності та кусочно-лінійні різноманітності між ними мають величезну різницю, з тих пір диференціальна топологія була визнана самостійною галуззю топології. У 1960 році Смаїл довів гіпотезу Пуанкаре для диференціальних багатовимірностей з більш ніж п'ятьма вимірами. JW Milno та ін. розробив основний метод роботи з диференціальними різноманіттями ─ ─ 剜 讓 擜, завдяки чому класифікація багатовимірностей, що мають більше п’яти вимірів, поступово стала алгебраїчною.
Найвидатнішими напрямами є взаємозв'язок між вищезазначеними трьома категоріями багатовимірників та класифікація тривимірних та чотиривимірних багатовимірників. Основні досягнення на початку 1980-х включали доказ чотиривимірної гіпотези Пуанкаре та відкриття незвичайної диференціальної структури в чотиривимірному евклідовому просторі. Цей вид досліджень зазвичай називають геометричною топологією, щоб підкреслити його геометричний колір, який відрізняється від алгебраїчної теорії гомотопії.